（2012•黑龙江）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F

Question

（2012•黑龙江）设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4√(2)，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

Answer 1

（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝√(2)p，
∵△ABD的面积S_△ABD=4√(2)，
∴(1)/(2)×BD×d=(1)/(2)×2p×√(2)p＝4√(2)，
解得p=2，
∴圆F的方程为x²+（y-1）²=8．
（2）由题设A(x0，(x20)/(2p))(x0＞0)，则F(0，(p)/(2))，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：B(−x0，p−(x20)/(2p))⇒p−(x20)/(2p)＝−(p)/(2)⇔

x

2 0

＝3p2
得：A(√(3)p，(3p)/(2))，直线m：y＝

作业帮用户 2016-12-11

问题解析

（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝

√(2)p，由△ABD的面积S_△ABD=4√(2)，知(1)/(2)×BD×d=(1)/(2)×2p×√(2)p＝4√(2)，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设A(x0，(x20)/(2p))(x0＞0)，则F(0，(p)/(2))点A，B关于点F对称得：B(−x0，p−(x20)/(2p))⇒p−(x20)/(2p)＝−(p)/(2)⇔

x

2 0

＝3p2，得：A(√(3)p，(3p)/(2))，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．

名师点评

本题考点：

圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．

考点点评：

本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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