已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,其右准线与x轴的焦点为A,再椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,求椭圆离心率的取值范围

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,其右准线与x轴的焦点为A,再椭圆上存在点P满足
线段AP的垂直平分线过点F,求椭圆离心率的取值范围

Answer 1

椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F
即存在点P满足PF=AF
即AF在|PF|的变化范围内
∵|PF|∈[a-c,a+c],|AF|=a²/c-c
∴a-c≤a²/c-c≤a+c
∴ac-c²≤a²-c²≤ac+c²
c/a-(c/a)²≤1-(c/a)²≤a/c+(c/a)²
∴e-e²≤1-e²≤e+e²
e-e²≤1-e² 成立
由1-e²≤e+e²
得：2e²+e-1≥0
e≤-1 或e≥1/2
∵0