已知：已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=3分之根号6,短轴一个端点到右焦点的距离为根号3设直线L与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线L的距离为2分之根号3,求三角形ABC面积的最大值.

Question

已知：已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率e=3分之根号6,短轴一个端点到右焦点的距离为根号3
设直线L与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线L的距离为2分之根号3,求三角形ABC面积的最大值.

Answer 1

(1)短轴一个端点到右焦点的距离为根号3,得出a=根号3,c/a=(根号6)/3,c=根号2,b=1
x2/3+y2=1
(2)设直线AB为：my=x+b,与椭圆方程x2+3y2=3联立,
可得(3+m2)y2-2mby+b2-3=0
|AB|=(根号(1+m2))*2(根号(3m2+27))/(3+m2)
设3+m2=t
代入可得|AB|=根号(3+12/t-36/t2)
当1/t=1/6时,|AB|max=2
SAOBmax=(根号3)/2
自己打的,答案是正确的,希望楼主有空采纳下.