用拉格朗日定理求椭圆抛物面z=x^2+2y^2到平面x+2y-3z=2的最短距离

Question

用拉格朗日定理求椭圆抛物面z=x^2+2y^2到平面x+2y-3z=2的最短距离

Answer 1

一个点(x,y,z)到平面x+2y-3z=2的距离的平方是(x+2y-3z-2)^2/14.因此考虑
f(x,y,z)=(x+2y--3z--2)^2在条件z=x^2+2y^2的最小值问题.
用Lagrange乘子法.令F(x,y,z,c)=(x+2y--3z--2)^2+c(z--x^2--2y^2),
aF/ax=2(x+2y--3z--2)--2cx=0,(1)
aF/ay=4(x+2y--3z--2)--4cy=0,(2)
aF/az=--6(x+2y--3z--2)+c=0.(3)
由上面方程知x+2y--3z--2=cx=cy=c/6,因此
x=y=1/6,z=x^2+2y^2=1/12.
最短距离是|x+2y--3z--2|/根号(14)
=根号(14)/8.