设抛物线y2=4x的焦点为F，过点（12，0）的动直线交抛物线于不同两点P，Q，线段PQ中点为M，射线MF与抛物线交于点A．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）设直线PQ的斜率为k，用k表示△APQ的面积．

Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点（(1)/(2)，0）的动直线交抛物线于不同两点P，Q，线段PQ中点为M，射线MF与抛物线交于点A．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线PQ的斜率为k，用k表示△APQ的面积．

Answer 1

（Ⅰ） 设直线PQ方程为x=ty+(1)/(2)，代入y²=4x得，
y²-4ty-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-2，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+1=4t²+1，
所以M（2t²+(1)/(2)，2t）．
设M（x，y），由

x＝2t2+(1)/(2)

y＝2t

，消去t，得中点M的轨迹方程为：y²=2x-1．          
（Ⅱ） 设

FA

＝λ

FM

  (λ＜0)，A（x₀，y₀），又F（1，0），M（2t²+(1)/(2)，2t），
于是

x0＝2λt2−(1)/(2)λ+1

y0＝2λt.

，
由点A在抛物线y²=4x上，得(λ2−2λ)t2＝−(1)/(2)λ+1，
又λ＜0，所以t²=−(1)/(2λ)，点A到直线PQ的距离d=(|λ−1|)/(2√(1+t2))．
又|PQ|=√(1+t2)|y₁-y₂|=2√((1+t2)(4t2+2))．
所以，△APQ面积S=(1)/(2)•|PQ|•d=(√(2))/(2)√(2t2+1)|λ-1|=(√(2))/(2)√(((λ−1)3)/(λ))，
由于k=(1)/(t)，则λ=-(1)/(2)k²，则S=(√(2))/(2)(√(2(1+(1)/(2)k2)3))/(|k|)．