在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(1)/(2)x2-x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．

（1）求直线BC的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t>0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线y=(1)/(2)x2-x+2与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，2）．   
∵y=(1)/(2)x2-x+2=(1)/(2)(x-1)2+(3)/(2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，(3)/(2)）．  
又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵直线BC经过点B（1，(3)/(2)）和点C（2，2），
∴

k+b=(3)/(2)

2k+b=2

解得

k=(1)/(2)

b=1.

∴直线BC的解析式为：y=(1)/(2)x+1；

（2）∵抛物线y=(1)/(2)x2-x+2中，当x=4时，y=6，
∴点D的坐标为（4，6）． 
∵直线y=(1)/(2)x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，
∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．

设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，
此时t=1．
当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．
结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1<t≤3．