如何在扇形上截出一个最大的正方形,要方案半径为1m，且其圆心角为60°

Question

如何在扇形上截出一个最大的正方形,要方案
半径为1m，且其圆心角为60°

Answer 1

解:本题中扇形AOB的内接正方形有两种方案.

(1)当正方形的一边在半径上时(如左图),连接OG:

∠ODE=90°-∠DOE=30°,则OD=2OE,设OE=X,则OD=2X,DE=√3X.

∵OF²+GF²=OG²,即(X+√3X)²+(√3X)²=1².

∴X=√[(7-2√3)/37].则DE=√3X=√[(21-6√3)/37]≈0.535;

(2)当正方形的边不在半径上时(如中图),连接OF:

由对称性可知,OD=OE,即⊿DOE为等边三角形,DE=OE=EF;∠OED=60°.

∴∠FEB=180°-∠OED-∠DEF=30°;

作FH⊥OB于H,则FH=EF/2.设EF=OE=2Y,则FH=Y,EH=√3Y.

∵OH²+FH²=OF²,即(2Y+√3Y)²+Y²=1².

∴Y=(√6-√2)/4,则EF=DE=2Y=(√6-√2)/2≈0.518.

综上所述,第一种方案中所截出的正方形最大.

◆虽然从理论上明白了,可如何作出这个正方形仍需要动动脑筋.

操作方法如下:(1)在OA上找任意点M,作MN⊥OB于N;

(2)以MN为边长向右作正方形MNPQ;

(3)连接OQ并延长,交弧AB于G;

(4)作GF⊥OB于F.再以GF为边长作出正方形GFED.

则四边形GFED就是所要求作的扇形的内接最大正方形.