如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为y

Question

如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立关系式：
（i）设∠OAB=α，将y表示为α的函数；
（ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．

Answer 1

（1）（i）过O作OH⊥AB于H
由题意得，∠AOH＝(π)/(2)−α，∠BOH＝π−(π)/(4)−((π)/(2)−α)＝(π)/(4)+α
且0＜α＜(π)/(2)tan∠AOH＝cotα＝(AH)/(10)
即AH=10cotα…（2分）
tan∠BOH＝tan((π)/(4)+α)＝(BH)/(10)即BH＝10tan((π)/(4)+α)…（4分）
∴AB＝BH+AH＝10tan((π)/(4)+α)+10cotα=10((cosα)/(sinα)+(sinα+cosα)/(cosα−sinα))=(20)/(√(2)sin(2α+(π)/(4))−1)…（8分）
（ii） 由等面积原理得，(1)/(2)•AB•10＝(1)/(2)mnsin(3π)/(4)即AB＝(mn)/(10√(2))…（10分）
（2）选择方案一：当α＝(π)/(8)时|AB|min＝20(√(2)+1)，…（12分）
此时OA＝OB＝(10)/(sin(π)/(8))，而cos(π)/(4)＝1−2sin2(π)/(8)＝(√(2))/(2)
所以OA＝OB＝10√(4+2√(2))．                         …（14分）
选择方案二：因为tan∠AOB＝(3π)/(4)，
由余弦定理得AB2＝m2+n2−2mncos(3π)/(4)=m2+n2+√(2)mn≥(2+√(2))mn
∴AB2≥20(√(2)+1)AB…（12分）
即AB≥20(√(2)+1)（当且仅当m＝n＝10√(4+2√(2))时取等号）…（14分）