设△ABC的内切圆圆O与边AC上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间,已知BG=HM,AB=2,那么,当BC,CA为何值时,线段GH长达到最大值?

Question

设△ABC的内切圆圆O与边AC上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间,已知BG=HM,AB=2,那么,当BC,CA为何值时,线段GH长达到最大值?

Answer 1

连AO 延长交BM于D,令BM⊥AD,故GD=DH ,又因AO为∠A的平分线,故BD=DM,是 BG=HM , 且AM=AB ,于是AC=2AB= 4 , 若要使GH长达到最大值,则需△ABC面积最大,从而使内切圆O的R 最大,那么△ABC应为RT三形, 即以AB为一直角边（对角为30度）,AC为斜边的RT三角形 ,即BC=2√3 即当BC=2√3 ,AC=4 时 ,线段GH长达到最大值 [ GH max=2√ [ 2√3 -3 ] ≈ 1.3625 ]