如图，BC是半圆O的直径，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan∠DCE=255．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求AB的长．

Question

如图，BC是半圆O的直径，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5，tan∠DCE=(2)/(5)√(5)．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC为直径
∴∠BDC=∠CDE=90°
∵tan∠DCE=(ED)/(DC)=(2√(5))/(5)
设ED=2√(5)x，DC=5x
∵EC=3
∴ED²+DC²=EC²∴（2√(5)x）²+（5x）²=9
∴x=(√(5))/(5)∴DE＝2，DC＝√(5)
∵tan∠DBC=(DC)/(BD)=(2√(5))/(5)=tan∠DCE
∴∠DBC=∠DCE
∴∠DCE+∠DCB=∠DBC+∠DCB=90°
∴EC为切线．

（2）连AC交BD于F
由（1）得，AD=DC=√(5)，BC=