如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，若tanB＝12，PC=10cm，求△BCD的面积．

Question

如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，若tanB＝(1)/(2)，PC=10cm，求△BCD的面积．

Answer 1

解法一：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BCA=90°，
∠ACD=90°-∠BAC=∠B．
∵tanB=(1)/(2)，
∴tan∠ACD=(1)/(2)，
∴(AD)/(CD)＝(CD)/(DB)＝(1)/(2)＝(AC)/(CB)．
设AD=x（x＞0），则CD=2x，DB=4x，AB=5x．
∵PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，
∴∠PCA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB．
∴(PA)/(PC)＝(AC)/(CB)＝(1)/(2)．
∵PC=10，
∴PA=5，
∵PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，
∴根据切割线定理：PC²=PA•PB，
∴10²=5（5+5x），
解得x=3，
∴AD=3，CD=6，DB=12．
∴S_△BCD=(1)/(2)CD•DB=(1)/(2)×6×12=36，
即△BCD的面积为36cm²，
解法二：同解法一，由△PAC∽△PCB得(PC)/(PB)＝(AC)/(CB)＝(1)/(2)，
∵PC=10，
∴PB=20，
由切割线定理，得PC²=PA•PB，
∴PA=(PC2)/(PB)＝(102)/(20)＝5，
∴AB=PB-PA=15，
∵AD+DB=x+4x=15，
解得x=3；（x同证法一）
∴CD=2x=6，DB=4x=12，
S_△BCD=(1)/(2)CD•DB=(1)/(2)×6×12=36．
即△BCD的面积为36cm²．