（1999•成都）已知：如图，MN为⊙O的直径，l⊥MN于H，割线MCA及弦MBD分别交⊙O于C、D．求证：MA•MC=MB•MD．

Question

（1999•成都）已知：如图，MN为⊙O的直径，l⊥MN于H，割线MCA及弦MBD分别交⊙O于C、D．
求证：MA•MC=MB•MD．

Answer 1

证明：连接CN、DN，（1分）
∵MN是直径，
∴∠D=90°（1分）
∵l⊥MN，
∴∠MHB=90°（1分）
在△MND与△MBH中，∵∠BMH=∠NMD，
∴Rt△MND∽Rt△MBH，
∴(MN)/(MB)=(MD)/(MH)
∴MB•MD=MN•MH①（2分）
同理可证Rt△AHM∽Rt△NCM，
∴(MN)/(MA)＝(MC)/(MH)．
∴MN•MH=MA•MC②（2分）
由①、②，有MA•MC=MB•MD．