已知函数f（x）=x-mx+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（）A．m＜133B．m＜5C．m＜4D．m≤5

Question

已知函数f（x）=x-m√(x)+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．m＜(13)/(3)
B．m＜5
C．m＜4
D．m≤5

Answer 1

令t=√(x)，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，
由题意可得f（x）=g（t）=t²-mt+5=(t−(m)/(2))2+5-(t2)/(4)＞1在[1，3]上恒成立，
故有g_min（t）＞1．
①当(m)/(2)＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6-m，
由6-m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．
②当(m)/(2)∈[1，3]时，函数g（t）在[1，(m)/(2)]上单调递减，在（(m)/(2) 3]上单调递增，
函数g（t）的最小值为g（(m)/(2)）=5-(t2)/(4)＞1，由此求得-4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．
③当(m)/(2)＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14-3m，
由14-3m＞1，求得m＜(13)/(3)，综合可得m无解．
综上可得，m＜4．