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如图所示,过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点.(1)求线段AB的中点P的轨迹;(2)在线段AB上取一点Q,使,求点Q的轨迹.
题目详情
如图所示,过点M(-6,0)作圆C:x 2 +y 2 -6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点.
(1)求线段AB的中点P的轨迹;
(2)在线段AB上取一点Q,使
,求点Q的轨迹.
(1)求线段AB的中点P的轨迹;
(2)在线段AB上取一点Q,使


▼优质解答
答案和解析
分析:
(1)设中点P的坐标,建立关于点P的方程,从而确定轨迹方程.(2)利用代入法求点点Q的轨迹.
(1)圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),半径为2.又M∈{M|PC⊥MP,P在已知圆内},设P点坐标(x,y),则CP的斜率为,MP的斜率为,所以,化简得x2+y2+3x-2y-18=0.点C(3,2)应在轨迹上,而x=3时,y=2满足方程x2+y2+3x-2y-18=0,所以点P的轨迹是圆x2+y2+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),直线AB的斜率为k,则有,代入,有,即,①把y=k(x+6)代入x2+y2-6x-4y+9=0,得(k2+1)x2+2(6k2-2k-3)x+3(12k2-8k+3)=0,,②②代入①并化简得,而,从而有9x+2y-27=0,所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分.
点评:
本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,运算量较大,综合性较强.
分析:
(1)设中点P的坐标,建立关于点P的方程,从而确定轨迹方程.(2)利用代入法求点点Q的轨迹.
(1)圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),半径为2.又M∈{M|PC⊥MP,P在已知圆内},设P点坐标(x,y),则CP的斜率为,MP的斜率为,所以,化简得x2+y2+3x-2y-18=0.点C(3,2)应在轨迹上,而x=3时,y=2满足方程x2+y2+3x-2y-18=0,所以点P的轨迹是圆x2+y2+3x-2y-18=0在已知圆内的一段弧.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),直线AB的斜率为k,则有,代入,有,即,①把y=k(x+6)代入x2+y2-6x-4y+9=0,得(k2+1)x2+2(6k2-2k-3)x+3(12k2-8k+3)=0,,②②代入①并化简得,而,从而有9x+2y-27=0,所以点Q的轨迹是直线9x+2y-27=0的圆内部分.
点评:
本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,运算量较大,综合性较强.
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