如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证：PBBD=PCCD．

Question

如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证：(PB)/(BD)=(PC)/(CD)．

Answer 1

连接OA，OC，
∵PA是切线，
∴∠PAO=∠PDA=90°，
又∵∠APD=∠OPA，
∴△APD∽OPA，
∴(PD)/(PA)=(PA)/(PO)，
∴PA²=PD•PO，
又∵PA是切线，
∴PA²=PB•PC
∴PA²=PD•PO=PB•PC
又∵∠CPD=∠OPB，
∴△PCD∽△POB
∴(PC)/(CD)＝(PO)/(OB)＝(PO)/(OC)
又△POC∽△PBD，则(PO)/(OC)＝(PB)/(BD)
∴(PB)/(BD)＝(PC)/(CD)．