函数f（x）=x3+ax+b（a，b∈R）的图象记为E，过点A（12，-38）作曲线E的切线有且仅有两条，求a+2b的值．

Question

函数f（x）=x³+ax+b（a，b∈R）的图象记为E，过点A（(1)/(2)，-(3)/(8)）作曲线E的切线有且仅有两条，求a+2b的值．

Answer 1

设切点P为（m，n），则n=m³+am+b，①
f′（x）=3x²+a，切线的斜率为3m²+a，
又P，A的斜率为(n+(3)/(8))/(m−(1)/(2))=3m²+a，②
由①②得到，2m³-(3)/(2)m²-(1)/(2)a-b-(3)/(8)=0．③
由于过点A作曲线E的切线有且仅有两条，
故③有且只有两个实根，
令f（m）=2m³-(3)/(2)m²-(1)/(2)a-b-(3)/(8)，则f（m）的一个极值为0，
f′（m）=6m²-3m，
令f′（m）=0即m=0或m=(1)/(2)，
故f（0）=0或f（(1)/(2)）=0，
即a+2b=-(3)/(4)或a+2b=-1．
故a+2b的值为-1或-(3)/(4)．