求椭球面2x2+3y2+z2=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程，并求切点处的法线方程．

Question

求椭球面2x²+3y²+z²=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面方程，并求切点处的法线方程．

Answer 1

记椭球面2x²+3y²+z²=9的平行于平面2x-3y+2z+1=0的切平面切点为（x₀，y₀，z₀），则切平面的法向量

n

＝(4x0，6y0，2z0)＝2(2x0，3y0，z0)
由于切平面与平面2x-3y+2z+1=0平行，所以，两平面法向量平行，即：(2x0)/(2)＝(3y0)/(−3)＝(z0)/(2)，
令(2x0)/(2)＝(3y0)/(−3)＝(z0)/(2)=t，则有

x0＝t

y0＝−t

z0＝2t

将上式代入椭球面方程可得：2t²+3t²+4t²=9t²=9
所以，t=±1
所以，切点为：（1，-1，2）或（-1，1，-2），
切平面：2x-3y+2z=9或-9，
法线方程为：(x−1)/(2)＝(y+1)/(−3)＝(z−2)/(2)或(x+1)/(2)＝(y−1)/(−3)＝(z+2)/(2)．