求经过点(2,6)且与曲线y=x^3+3x-8相切的直线方程

Question

求经过点(2,6)且与曲线y=x^3+3x-8相切的直线方程

Answer 1

点（2,6）在曲线上,但不一定是切点.
设切点为(x0,x0³+3x0-8)
则y'=3x²+3
∴ 切线斜率为k=y'(x0)=3x0²+3
∴ 切线方程是 y-6=(3x0²+3)(x-2)
切线过切点(x0,x0³+3x0-8)
∴ x0³+3x0-8-6=(3x0²+3)(x0-2)
∴ x0³+3x0-14=3x0³-6x0²+3x0-6
∴ 2x0³-6x0²+8=0
即 x0³-3x0²+4=0
(x0³+x0²)-(4x0²-4)=0
(x0+1)x0²-4(x0+1)(x0-1)=0
∴ (x0+1)(x0²-4x0+4)=0
∴ (x0+1)(x0-2)²=0
∴ x0=-1或x0=2
（1）x0=-1,k=6, ∴切线为y-6=6(x-2), 即6x-y-6=0
（2）x0=2, k=15,∴ 切线为y-6=15(x-2), 即15x-y-24=0