已知抛物线y=ax2（a＞0）,直线l1、l2都过点P（1,-2）且都与抛物线相切．（1）若l1⊥l2,求a的值．（2）直线l1、l2与分别与x轴相交于A、B两点,求△PAB面积S的取值范围．

Question

已知抛物线y=ax2（a＞0）,直线l1、l2都过点P（1,-2）且都与抛物线相切．
（1）若l1⊥l2,求a的值．
（2）直线l1、l2与分别与x轴相交于A、B两点,求△PAB面积S的取值范围．

Answer 1

设过P(1,-2)的直线的斜率为k；则所有过P点的直线表示为：y+2=k(x-1),即：y=kx-k-2；
因为直线与抛物线相切；连列方程组：得ax^2-kx+k+2=0；
因为相切：所以判别式△＝k^2-4a(k+2)=0；即：k^2-4ak-8a=0；
因为存在两条切线,所以k^2-4ak-8a=0应该有两个不同的实根；k1,k2；
又因为两切线垂直,所以k1*k2=-1；所以-8a=-1,得：a=1/8；
（2）两条切线分别为：y=k1x-k1-2 ,y=k2x-k2-2；
分别与X轴的交点为：A（1+2/k1,0）,B（1+2/k2,0）；
则AB＝|(1+2/k1)-(1+2/k2)|=|2/k1-2/k2|=2|k1-k2|/|k1*k2|
|k1*k2|=|-8a|=8a
|k1-k2|=√[(k1+k2)^2-4k1k2]=√[(4a)^2+4*8a]=√(16a^2+32a)=4√(a^2+2a)
所以AB＝8√(a^2+2a)/8a=√(1+2/a)；P到AB的距离为：2；
所以S△PAB＝1/2*2*√(1+2/a)=√(1+2/a)；