已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+l相切．求不等式x2-（a+l）x+a≤0的解集．

Question

已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax²+（a+2）x+l相切．求不等式x²-（a+l）x+a≤0的解集．

Answer 1

y=x+lnx的导数为y′=1+(1)/(x)，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．
由于切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，
y=ax²+（a+2）x+1可联立y=2x-1，
得ax²+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a²-8a=0，
解得a=8．
所以x²-9x+8≤0的解集为[1，8]．