关于等差数列的两个问题在三角形ABC中,acos^C/2+ccos^A/2=3/2b.求证abc成等差数列.在数列an中,如果对于任意的正整数n(n大于等于2）都有an=[a(n+1)+a(n-1)]/2,那么数列an一定是等差数列吗?（已证明所有

Question

关于等差数列的两个问题
在三角形ABC中,acos^C/2+ccos^A/2=3/2b.求证abc成等差数列.
在数列an中,如果对于任意的正整数n(n大于等于2）都有an=[a(n+1)+a(n-1)]/2,那么数列an一定是等差数列吗?（已证明所有等差数列都满足an=[a(n+1)+a(n-1)]/2）

Answer 1

(1)
acos^C/2+ccos^A/2=3/2b
LZ的意思应该是a(cos(C/2))^2+c(cos(A/2))^2=3/2b吧~
a(cos(C/2))^2+c(cos(A/2))^2
=a*(1+cosC)/2+c(1+cosA)/2
=a/2+c/2+(acosC+ccosA)/2
=a/2+c/2+b/2 (做高BH,则acosC+ccosA=AH+CH=AC=b)
=3/2*b
a+c=2b
故a,b,c成等差数列
(2)
答案是肯定的.
设a2-a1=d
下证结论an-a(n-1)=d(n>1)
用归纳法：
n=2时,结论已经成立
n=3时,
∵a2=(a3+a1)/2
∴a3-a2=a2-a1=d成立
假设n=k时,有ak-a(k-1)=d成立
那么n=k+1时
∵an=(a(n+1)+a(n-1))/2
∴a(n+1)-an=an-a(n-1)=d
于是数列an中任意相邻两数之差为定值d
故an是等差数列
证毕.