设曲线y=ax^2(a>0)与曲线y=lnx,相切,求常数a及公切线

Question

设曲线y=ax^2(a>0)与曲线y=lnx,相切,求常数a及公切线

Answer 1

设（x0,y0）为切点
曲线1=曲线2
斜率也相等 ,用切点带入
首先,两曲线相切,则它们有公共点
设在点P(xo,yo)处两者相切,则：
axo^2=lnxo……………………………………………………（1）
又,两者在P点相切,则在P点处两者有公切线,亦即在点P处切线的斜率相等
所以：
对于曲线y=ax^2,其在点P处的切线斜率k=2axo
对于曲线y=lnx,其在点P处的切线斜率k=1/xo
所以,2axo=1/xo
则,axo^2=1/2………………………………………………（2）
代入(1)得到：lnxo=axo^2=1/2
所以,xo=e^(1/2)
所以,xo^2=e
再代入(2)得到：axo^2=1/2
则,a=1/(2e)