如图，分别以等腰Rt△ABC的边AC、BC为直径画半圆，以边AB为直径画圆．则：①S半圆AECA+S半圆BGCB=S半圆ALBA；②S月形AECF=2S弓形AFCA；③S弓形AFCA+S弓形CHBC=12S△ABC；④S月形AECF+S月形BGCH=S△ABC．正

Question

如图，分别以等腰Rt△ABC的边AC、BC为直径画半圆，以边AB为直径画圆．则：
①S_半圆AECA+S_半圆BGCB=S_半圆ALBA；
②S_月形AECF=2S_弓形AFCA；
③S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=(1)/(2)S_△ABC；
④S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC．
正确的结论有（　　）

A．①②③
B．①④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

∵分别以等腰Rt△ABC的边AC、BC为直径画半圆，以边AB为直径画圆，
∴∠ACB=∠ADC=90°，∠CAB=∠CBA=45°，
设AC=2x，则BC=2x，AB=2√(2)x，
①∵S_半圆AECA=(1)/(2)πx²，S_半圆BGCB=(1)/(2)πx²，S_半圆ALBA=(1)/(2)π（√(2)x）²=πx²，
∴S_半圆AECA+S_半圆BGCB=S_半圆ALBA，故此选项正确；

②∵S_弓形AFCA=S_扇形ADC-S_△ADC=(1)/(2)πx²-(1)/(2)×√(2)x×√(2)x=(1)/(2)x²（π-2），
S_月形AECF=(1)/(2)πx²-(1)/(2)x²（π-2）=x²，
∴S_月形AECF≠2S_弓形AFCA，故此选项错误；

③∵S_弓形AFCA=S_弓形CHBC=(1)/(2)x²（π-2），
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC=（π-2）x²，
S_△ABC=(1)/(2)×2x×2x=2x²，
∴S_弓形AFCA+S_弓形CHBC≠(1)/(2)S_△ABC，故此选项错误；

④∵S_月形AECF=S_月形BGCH=x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=2x²，S_△ABC=(1)/(2)×2x×2x=2x²，
∴S_月形AECF+S_月形BGCH=S_△ABC，故此选项正确．
故选：B．