(1)一个半径为r的扇形若它的周长等于弧所在的半圆的长那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?(2)已知一扇形的周长为c(c＞0)当扇形的中心角为多大时它有最大的面积?

Question

(1)一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少?

(2)已知一扇形的周长为c(c＞0) 当扇形的中心角为多大时 它有最大的面积?

Answer 1

解:(1)设扇形的圆心角是θ弧度 则扇形的弧长是rθ 扇形的周长是2r+rθ.    由题意可知2r+rθ=πr.    ∴θ=π-2(弧度).    扇形的面积为S=r2θ=r2(π-2).    (2)设扇形的半径为r 中心角为θ弧度 扇形的面积为S 则c=2r+rθ r= S=r2θ=.    对此方程 求最值有如下三种方法:    方法一:考虑到运用判别式法求分式函数的最值 则有    2Sθ2+(8S-c2)θ+8S=0 又θ有实数解     ∴Δ=(8S-c2)2-4·2S·8S≥0 即S≤.    将S=代入上述方程 得θ2-4θ+4=0 解得θ=2.    ∴当扇形中心角θ=2弧度时 扇形有最大面积Smax=.    方法二:若考虑到运用均值不等式 则有S=r2θ=·2r·rθ≤()2=·()2=.当且仅当2r=rθ 即θ=2时 取“=”.    方法三:S==≤=.    当且仅当θ=2时取“=”.讲评:本题主要考查弧度与角度的换算 弧长公式及扇形面积计算公式.(2)中运用了三种不同方法求得面积的最大值 请读者比较三种解法的优劣 体会不同解题思路的形成过程 从而优化解题结构.