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设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P
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设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设P(x,y),M(x1,x12),N(x2,x22),切线的斜率 k=2x.
∴l1 的方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ①,
同理,l2 的方程为 y=2x2 x-x22 ②,令 y=0 可求出 A(
,0),B(
,0).
∵|AB|=1,所以,|x1-x2|=2,∴|x1+x2|2-4x1x2 =4,
由①,②,得 x=
,y=x1x2,故点P(
,x1x2).
∴y=x2-1,
(2)当 A,B 所在直线过 C:y=x2 的焦点.
(3)设 MN:y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0,所以,x1+x2=k,x1x2=-b,
∴P到MN的距离为 d=
=,MN=
|x1-x2|,
∴S=
MN•d=
(|x1+x2|2 -4x1x2|)•|x1-x2|=2,为定值.
∴l1 的方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ①,
同理,l2 的方程为 y=2x2 x-x22 ②,令 y=0 可求出 A(
x1 |
2 |
x2 |
2 |
∵|AB|=1,所以,|x1-x2|=2,∴|x1+x2|2-4x1x2 =4,
由①,②,得 x=
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
∴y=x2-1,
(2)当 A,B 所在直线过 C:y=x2 的焦点.
(3)设 MN:y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0,所以,x1+x2=k,x1x2=-b,
∴P到MN的距离为 d=
|k
| ||
|
1+K2 |
∴S=
1 |
2 |
1 |
4 |
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