已知○A,○B,○C,的半径都是R,它们两两相切,求这三个等圆都相切的圆的半径

Question

已知○A,○B,○C,的半径都是R,它们两两相切,求这三个等圆都相切的圆的半径

Answer 1

○A、○B、○C的半径都是R,它们两两相切,连接三个圆心构成一个边长为2R的等边三角形（每两个圆圆心的连线都过切点,长度都是2R）.
三角形的三心合一（内心、外心、垂心）的点就是与这三个圆都相切的的圆的圆心.做出三角形的三条角平分线（也是中垂线、也是高）交于一点,通过勾股定理和三角形相似可以求出：内心、外心到顶点的距离为2/√3R.
与三个圆都相切的情况有两种：内切和外切
画个图可知,内切圆的半径等于三角形内心到顶点的距离减去一个R.外切圆的半径等于三角形内心到顶点的距离加上一个R
所以：内切圆的半径=（2/3√3－1）R
外切圆的半径=（2/3√3＋1）R