一道数学题..有一长宽高分别为正整数M,N,R,M小于等于N小于等于R的长方体,表面涂上红色后切成棱长为1的正方体,不带红色正方体的个数+两面带红色的正方体个数-一面带红的个数得1985.求M,N,R

Question

一道数学题..
有一长宽高分别为正整数M,N,R,M小于等于N小于等于R的长方体,表面涂上红色后切成棱长为1的正方体,不带红色正方体的个数+两面带红色的正方体个数-一面带红的个数得1985.求M,N,R

Answer 1

设a、b、c为R-2,N-2,M-2,(a、b、c>=0)则
abc+4(a+b+c)-2ab-2ac-2bc=1985,
因为1985是奇数,所以根据等式可知,a、b、c都是奇数.
等式变换为,a=(1985+2bc-4b-4c)/(bc-2b-2c+4),
如果bc-2b-2c=t,（显然t也是正整数,略不予证明）则
a=2+1977/(t+4),
因为1977=659*3,(659为质数),a也是正整数,所以
t+4=659,(因为t+4不可能是3,t也是正整数)
那么a=5
bc-2b-2c+4=659 即 b=(655+2c)/(c-2)=2+659/(c-2)
因为659是质数,b是正整数.所以只能是
c=3 那么b=661
也就是说,M N R分别为 5,7,663