（2008•泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD2=DE•DB；（2）若BC=52，CD=52，求DE的长．

Question

（2008•泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧

AC

的中点，BD交AC于点E．
（1）求证：AD²=DE•DB；
（2）若BC=(5)/(2)，CD=(√(5))/(2)，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：由D是劣弧

AC

的中点，得

AD

＝

DC

⇒∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴(AD)/(DE)＝(DB)/(AD)，
∴AD²=DE•DB；

（2）由D是劣弧

AC

的中点，得AD=DC，则DC²=DE•DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=√(BC2−CD2)=√(((5)/(2))2−((√(5))/(2))2)=√(5)
由DC²=DE•DB得，((√(5))/(2))2＝√(5)DE，
解得DE=(√(5))/(4)．