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如图,点C是圆O的直径AB延长线上一点,点D在圆O上,且BC=BD=OB,E是劣弧AD上一点,BE交AD于F.(1)求证:CD是圆O的切线;(2)若△DEF的面积为12,cos∠BFD=23,求△ABF的面积.
题目详情
如图,点C是圆O的直径AB延长线上一点,点D在圆O上,且BC=BD=OB,E是劣弧AD上一点,BE交
AD于F.
(1)求证:CD是圆O的切线;
(2)若△DEF的面积为12,cos∠BFD=
,求△ABF的面积.

AD于F.
(1)求证:CD是圆O的切线;
(2)若△DEF的面积为12,cos∠BFD=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,
∵BD=OB,OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=∠ODB=60°,
∵BC=BD,
∴∠CDB=∠DCB,
∵∠DBO=∠BDC+∠BCD,
∴∠C=∠CDB=30°,
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°,
即OD⊥CD,
∵点D在圆O上,
∴CD是圆O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴cos∠BFD=
=
,
∵∠E=∠A,∠EFD=∠AFB,
∴△DEF∽△BAF,
∴
=(
)2=
,
∵S△DEF=12,
∴△ABF的面积为27.
∵BD=OB,OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=∠ODB=60°,
∵BC=BD,
∴∠CDB=∠DCB,

∵∠DBO=∠BDC+∠BCD,
∴∠C=∠CDB=30°,
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°,
即OD⊥CD,
∵点D在圆O上,
∴CD是圆O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴cos∠BFD=
| DF |
| BF |
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∵∠E=∠A,∠EFD=∠AFB,
∴△DEF∽△BAF,
∴
| S△DEF |
| S△BAF |
| DF |
| BF |
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∵S△DEF=12,
∴△ABF的面积为27.
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