如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交AD于F．（1）求证：CD是圆O的切线；（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=23，求△ABF的面积．

Question

如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交
AD于F．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=(2)/(3)，求△ABF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BD=OB，OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=∠ODB=60°，
∵BC=BD，
∴∠CDB=∠DCB，
∵∠DBO=∠BDC+∠BCD，
∴∠C=∠CDB=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在圆O上，
∴CD是圆O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BFD=(DF)/(BF)=(2)/(3)，
∵∠E=∠A，∠EFD=∠AFB，
∴△DEF∽△BAF，
∴(S△DEF)/(S△BAF)＝((DF)/(BF))2＝(4)/(9)，
∵S_△DEF=12，
∴△ABF的面积为27．