如图，△OAB中，OA=OB=5，∠AOB=80°，以点O为圆心，3为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；（2）点T在左半弧

Question

如图，△OAB中，OA=OB=5，∠AOB=80°，以点O为圆心，3为半径的优弧

MN

分别交OA，OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧

MN

上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中

OA＝OB

∠AOP＝∠BOP′

OP＝OP′

∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，
∵AT与

MN

相切，
∴∠ATO=90°，
∴AT=√(OA2−OT2)=√(102−62)=8，
∵(1)/(2)×OA×TH=(1)/(2)×AT×OT，
即(1)/(2)×10×TH=(1)/(2)×8×6，
解得：TH=(24)/(5)，即点T到OA的距离为(24)/(5)；

（3）如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，
当Q点在优弧

MN

右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．