如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12，14)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将

Question

如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P((1)/(2)，(1)/(4))是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN．设直线MN的斜率为k，问：
（1）求直线MN的方程？
（2）求点M，N的坐标，并求k范围？
（3）用区间D表示△AMN的面积的取值范围，求出区间D？若S²＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立，求m的取值范围？

Answer 1

（1）依题意得直线MN的斜率存在，则设MN方程为：y−(1)/(4)＝k(x−(1)/(2))．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，
由

y−(1)/(4)＝k(x−(1)/(2))

y＝x

得M((2k−1)/(4(k−1))，(2k−1)/(4(k−1)))．
∵(2k−1)/(4(k−1))≥0，∴k＞1或k≤(1)/(2)，
又由

y−(1)/(4)＝k(x−(1)/(2))

x＝1

得N(1，(2k+1)/(4))且(2k+1)/(4)≥0，
得k≥−(1)/(2)，∴−(1)/(2)≤k≤(1)/(2)．
（3）S_△AMN=(1)/(2)•|AN|•h＝(1)/(2)[1−(2k−1)/(4)][1−(2k−1)/(4(k−1))]=(1)/(32)[4(1−k)+(1)/(1−k)+4]．
设t＝1−k∈[(1)/(2)，(3)/(2)]，f(t)＝4t+(1)/(t)．
∵f′(t)＝4−(1)/(t2)＝(4t2−1)/(t2)≥0，
∴f（t）在[(1)/(2)，(3)/(2)]是单调递增．
∴当t＝(3)/(2)时，f(t)＝(20)/(3)，即当1-k=(3)/(2)时即k=−(1)/(2)时，
（S_△）_max=(1)/(32)[(20)/(3)+4]＝(1)/(3).t＝(1)/(2)（S_△）_min=(1)/(4)，∴D＝[(1)/(4)，(1)/(3)]．
已知S²＞m（-2S+1）对任意S∈D恒成立．
又∵−2S+1∈[(1)/(3)，(1)/(2)]，
∴m＜(S2)/(−2S+1)＝(1)/(((1)/(S)−1)2−1)，S∈[(1)/(4)，(1)/(3)]，(1)/(S)∈[3，4]．
∴m＜((1)/(((1)/(S)−1)2−1))min＝(1)/(8)．