如图,已知⊙O的半径为2,以⊙O的弦AB为直径作⊙M,点C是⊙O优弧AB上的一个动点,（不与点A、点B重合）,连结AC、BC,分别与⊙M相交于点D、点E,连结DE,若AB=2倍根号3.1、求∠C的度数；2、求DE的长；3

Question

如图,已知⊙O的半径为2,以⊙O的弦AB为直径作⊙M,点C是⊙O优弧AB上的一个动点,（不与点A、点B重合）,连结AC、BC,分别与⊙M相交于点D、点E,连结DE,若AB=2倍根号3.
1、求∠C的度数；2、求DE的长；3、如果记tan∠ABC=Y,AD∕DC=X（O＜X＜3）,那么在点C的运动过程中,试用含X的代数式表示Y.

Answer 1

1.连OA,OB,过O作OP⊥AB于P（其实P与M为同一点）
∴AP＝1／2AB＝√3
∵在⊙O中,OA=2
∴在Rt⊿AOP中,cos∠OAP=（√3）/2
∴∠OAP=30°
∴∠AOP=90°-30°=60°
∴∠AOB=2∠AOP=120°
∴∠C=1/2∠AOB=60°
2.连接BD
在⊙M中,∠ADB=90°∴∠BDC=180°- ∠ADB=90°
在Rt⊿BCD中,CD/BC=cos∠C=1/2
∵四边形ADEB内接于⊙M
∴∠ADE+∠ABE=180°
又∵∠ADE+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABE
又∵∠DCE=∠BCA
∴⊿CDE∽⊿CBA
∴DE/AB=CD/BC=1/2
∴DE=√3
3.连接AE,设CD=a,则AD=ax(a≠0)
在Rt⊿ACE中,CE=AC*cos∠C=[a(1+x)]/2,AE＝CE*tan∠C=[√3*a(1+x)]/2
在Rt⊿BCD中,BC=CD/cos60°=2a
∴BE=BC-CE=2a-[a(1+x)]/2=[a(3-x)]/2
在Rt⊿ABE中,tan∠ABC=AE /BE=[（√3）x+√3]/(3-x)
∴Y=[（√3）x+√3]/(3-x) (0＜X＜3)