O1与圆O2相交于点A,B,圆O1过圆O2,点C是圆O1的优弧AB上不与点A,B重合的动点,连接AB,AC,BC,O2C,1.求证∠ACO2=∠BCO22.当点C远东到什么位置时,直线AC与圆O2相切?说明理由3.当∠ACB=60°时,试判定圆O1与圆O2的

Question

O1与圆O2相交于点A,B,圆O1过圆O2,点C是圆O1的优弧AB上不与点A,B重合的动点,连接AB,AC,BC,O2C
,1.求证∠ACO2=∠BCO22.当点C远东到什么位置时,直线AC与圆O2相切?说明理由3.当∠ACB=60°时,试判定圆O1与圆O2的大小关系,说明理由

Answer 1

证明：连O1O2 由“两圆的连心线 垂直平分 公共弦”得
O1O2 垂直平分 AB
由 垂径定理“垂直于弦的直径 平分这条弦、且平分 弦所对的弧”得
弧AO2 = 弧BO2
∴ ∠ACO2=∠BCO2 （在圆O1中,等弧所对的圆周角相等）
（2）解前提示：1、当您解或证“何时相切”这类题目时,命题人的意图是让考生把“相切”当作已知条件利用的；
2、当一个大题 题干下 有若干小问时,请您必须弄清 下一问能否利用 上一问的结论.
当点C运动到 圆O1 的优弧AB的中点位置时（不宜说 线段O2O1 的延长线 与 圆O1 的交点位置时）,直线AC与圆O2相切.理由如下：
∵ AC 与圆O2 相切
∴ AC ⊥ O2A （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠CAO2 = 90°
∴ O2C是圆O1的直径（因为O2和C均在圆O1上 且直径所对的圆周角为90°）
∴ O2C垂直平分AB （O2C经过点O1 连心线垂直平分公共弦）
∴ CA = CB （线段AB的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ 弧CA = 弧CB
∴ 当点C运动到 圆O1 的优弧AB的中点位置时,直线AC与圆O2相切.
（3）圆O1 与圆O2 是等圆,大小相等.理由如下：
连 O1A O1B O1O2 O2A O2B
当∠ACB = 60°时
∠AO1B = 120° （在圆O1中,同弧AB所对的圆周角=圆心角的一半）
∴ ∠AO1O2 = ∠BO1O2 = 1/2?∠AO1B = 60°
在△AO1O2 中,
∠AO1O2 = 60°(已证)
O1A = O1O2 （均为圆O1的半径）
∴ △AO1O2 是等边三角形
∴ O2A = O1A （即两圆半径相等）
∴ 圆O1 与圆O2 是等圆,大小相等.