中线长定理的证明

Question

中线长定理的证明

Answer 1

中线长定理：三角形一条中线的两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍
已知：AD是三角形ABC的中线
求证：AB^2+AC^2=2（1/2BD)^2+2AD^2
证明：过点A作AH垂直BC于H
所以角AHB=角AHC=90度
所以三角形AHB和三角形AHC,三角形AHD是直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=AH^2+BH^2
AC^2=AH^2+CH^2
AH^2+DH^2=AD^2
所以AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BH^2+CH^2
因为AD是三角形ABC的中线
所以AD=CD=1/2BC
因为BH=BD+DH
CH=CD-DH
所以AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+(BD+DH)^2+(BD-DH)^2
AB^2+AC^2=2AD^2-2DH^2+BD^2+DH^2+2BD^DH+BD^2-2BD^DH+DH^2
所以AB^2+BC^2=2AD^2+2BD^2
所以AB^2+AC^2=2*(1/2BC)^2+2AD^2
所以三角形一条中线所对的两侧的对边的平方和等于底边的一半的平方于该边中线的平方和的2倍