（2003•东城区二模）某城市为了改善交通状况，需进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b

Question

（2003•东城区二模）某城市为了改善交通状况，需进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数．设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为μ＝(1)/(2(1+β))．
（Ⅰ）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式：
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道路标段为多少个？

Answer 1

（Ⅰ）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为：
y=kβn=kβ（ax+b）；
（Ⅱ）P＝(kx)/(y)＝(x)/(β(ax+b))＝((1)/(4)a)/(β((1)/(4)a2+b))＝(a)/(β(a2+4b))．
由于 5%≤μ≤10%
有0.05≤(1)/(2(1+β))≤0.1
则0.1≤(1)/(1+β)≤0.2
∴5≤1+β≤10．
∴4≤β≤9．
∴(1)/(9)≤(1)/(β)≤(1)/(4)．
又由已知P＞0，β＞0，从而(a)/(a2+4b)＞0．
所以P的取值范围是(a)/(9(a2+4b))≤P≤(a)/(4(a2+4b))．
（Ⅲ）当b=4时，在（Ⅱ）的条件下，若路网最通畅，则β=9．
又造价比最高．
∴P＝(a)/(9(a2+16))＝(1)/(9(a+(16)/(a)))≤(1)/(9×2×4)＝(1)/(72)．
当且仅当  a＝(16)/(a)即a=4时取等号．
∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个．