已知两定点A、B,一动点P,如果∠PAB和∠PBA中的一个是另一个的2倍,求P点的轨迹方程.

Question

已知两定点 A 、 B ,一动点 P ,如果∠ PAB 和∠ PBA 中的一个是另一个的2倍,求 P 点的轨迹方程.

Answer 1

P 点轨迹方程为( x + ) ² － = a ² ( y ≠0).

认真分析题设条件,综合利用平面几何的知识,列出几何等式,再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化,便得曲线的方程,还要将所得方程化简,使求得的方程是最简单的形式.
∵给出了∠ PAB 和∠ PBA 中的一个是另一个的2倍,即∠ PAB =2∠ PBA 或∠ PBA ="   " 2∠ PAB ,将 k _PA 、 k _PB 代入二倍角公式,即得到 P 点的轨迹方程.
如下图所示建立直角坐标系.

设 A 、 B 两点的坐标分别为(－ a ,0)、( a ,0), P ( x , y ).
∵ k _PA =tan α = ,                                                                                              ①
k _PB =tan(180°－ β )=－tan β =－ ,                                                               ②
当 α =2 β 时,tan α = .                                                                              ③
将①②代入③,得 = .
化简后得 P 点的轨迹方程为( x － ) ² － = a ² ( y ≠0).
当点 P 在 y 轴右侧时,即 β =2 α ,同时可得 P 点轨迹方程为( x + ) ² － = a ² ( y ≠0).