已知真命题：过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）．类比此命题，写出关于椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个真命题：

Question

已知真命题：过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于另外两点M、N，则直线MN过定点P（2p，0）．类比此命题，写出关于椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的一个真命题：

过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0）．

过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0）．

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Answer 1

类比可得：过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0）．
证明：A（a，0），过A相互垂直的两直线，可设为：y=k（x-a），y=-(1)/(k)（x-a），
由

y＝k(x−a)

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

消去y，得到（b²+k²a²）x²-2a³k²x+a⁴k²-a²b²=0，
由韦达定理得，x₁•a=a•(a3k2−ab2)/(b2+a2k2)，即M（(a3k2−ab2)/(b2+a2k2)，(−2kab2)/(b2+a2k2)），
同理将上面的k换成-(1)/(k)，可得，N（(a3−ab2k2)/(a2+b2k2)，(2ab2k)/(a2+b2k2)），
可得直线MN的方程为y+(2akb2)/(b2+a2k2)=(k(a2+b2))/(a2(1−k2))（x-(a3k2−ab2)/(b2+a2k2)），①
可取k=2，3，求出两直线的交点为（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0），
代入①式，恒成立，
故直线MN过定点P（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0）．
故答案为：过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的长轴右端点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于另外两点M、N，则直线MN过定点P（(a(a2−b2))/(a2+b2)，0）．