(本小题满分12分)已知定点，动点满足：.（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点的直线与轨迹交于两点,试问在轴上是否存在定点,使得为常数.若存在，求出点的坐标；

Question

(本小题满分12分)
已知定点 ，动点 满足： .
（I）求动点 的轨迹的方程；
（II）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ,试问在 轴上是否存在定点 ,使得  为常数.若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）轨迹 的方程为
（II）当直线 与 x 轴垂直时， ,当 时 .
故，在 x 轴上存在定点 C (1,0) ,使得1  为常数.

（Ⅰ）   
（当动点 P 与两定点 A,B 共线时也符合上述结论）
所以动点 P 的轨迹为以 A,B 为焦点，实轴长为 的双曲线
所以，轨迹 G 的方程为  。     
（Ⅱ）假设存在定点 C ( m, 0),使1 为常数.
①当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为
 
由题意知，
设 ，则 ，  
于是
∴
＝      
＝


要是使得1  为常数，当且仅当 ，此时  
②当直线 与 x 轴垂直时， ,当 时 .
故，在 x 轴上存在定点 C (1,0) ,使得1  为常数.