定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．（1）已

Question

定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）已知抛物线的焦点F（0，(1)/(4a)），准线l：y=-(1)/(4a)，求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的解析式为：y=x²-n²，点A（0，(1)/(4)-n2）（n≠0），B（1，2-n²），P为抛物线上一点，求PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作 M， M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线上有一点（x，y），
由定义知：x²+（y-(1)/(4a)）²=|y+(1)/(4a)|²，
解得y=ax²；
（2）如图1，由（1）得抛物线y=x²的焦点为（0，(1)/(4)），准线为y=-(1)/(4)，
∴y=x²-n²由y=x²向下平移n²个单位所得，
∴其焦点为A（0，(1)/(4)-n²），准线为y=-(1)/(4)-n²，
由定义知P为抛物线上的点，则PA=PH，
∴PA+PH最短为P、B、A共线，此时P在P′处，
∵x=1，
∴y=1-n²<2-n²，
∴点B在抛物线内，
∴BI=y_B-y_I=2-n²-（-(1)/(4)-n²）=(9)/(4)，
∴PA+PB的最小值为(9)/(4)，此时P点坐标为（1，1-n²）；
（3）由（2）知E（|n|，0），C（0，n²），
设OQ=m（m>0），则CQ=QE=n²-m，
在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|²+m²=（n²-m）²，
解得m=(n2)/(2)-(1)/(2)，
则QC=(n2)/(2)+(1)/(2)=QN，
∴ON=QN-m=1，
即点N（0，1），
故AM过定点N（0，1）．