平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是．

Question

平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是______．

Answer 1

四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1) 2 + (1+2) 2

+

(4-1) 2 + (0+2) 2

+

(a-3) 2 + (1-0) 2

+1
=

(a-1) 2 + (1+2) 2

+

(a-3) 2 + (1-0) 2

+

13

+1，
只需求出

(a-1) 2 + (1+2) 2

+

(a-3) 2 + (1-0) 2

的最小值时的a值．
由于

(a-1) 2 + (1+2) 2

+

(a-3) 2 + (1-0) 2

=

(a-1) 2 + (0-3) 2

+

(a-3) 2 + (0-1) 2

，
表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．
利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
且取得最小的a值为E（1，-3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
∵直线EF的斜率k= (1+3)/(3-1) =2，∴直线EF方程为y+3=2（x-1），化简得y=2x-5，
令y=0，得x= (5)/(2) ，所以此时a值为 (5)/(2)
由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（ (5)/(2) ，1），N（ (7)/(2) ，1）
设过三点A、P、N的圆方程为x ² +y ² +Dx+Ey+F=0
可得

1 2 + (-2) 2 +D-2E+F=0

((5)/(2) ) 2 + 1 2 +(5)/(2) D+E+F=0

((7)/(2) ) 2 + 1 2 +(7)/(2) D+E+F=0

，解之得D=-6，E= (9)/(4) ，F= (11)/(2)
∴过三点A、P、N的圆方程为x ² +y ² -6x+ (9)/(4) y+ (11)/(2) =0，可得圆坐标为（3，- (9)/(8) ）
故答案为：（3，- (9)/(8) ）