如图，在平面直角坐标系中，以点M（-l，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-33x-533与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于

Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（-l，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=- (3)/(3) x- (5)/(3)

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与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）求⊙M的半径；

（2）如图，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：

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，求点P的坐标；

（3）如图，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点G，连接AG．过点M作MN⊥x轴交BK于N．是否存在这样的点K，使得AG=MK？若存在，请求出GN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由直线y=- (3)/(3) x- (5)/(3)

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可知，E（-5，0）、F（0，- (53)/(3) ）
∴OE=5，OF= (53)/(3) ，
∵M点的坐标是（-1，0），
∴EM=OE-OM=5-1=4，
∴EF=

(-5) 2 + ((53)/(3) ) 2

= (103)/(3) =2OF，
∴∠OEF=30°，
∴HM= (1)/(2) EM= (1)/(2) ×4=2，
即⊙M的半径为2；

（2）作HT⊥OC于T，连接CH、MH，由（1）知△CMH为正三角形，
∴CT=1，TH=

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．设PD=4x，PH=

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x．
∵TH ² +TP ² =PH ² ，
∴3+（3-4x） ² =7x ² ，
∴x ₁ =2（舍），x ₂ = (2)/(3) ；
∴PM=PD-MD=4× (2)/(3) -2= (2)/(3) ；
又∵M（-1，0），
∴P的横坐标为-1- (2)/(3) =- (5)/(3) ，
故P（- (5)/(3) ，0）．

（3）假设存在，则有AG=MK．作直径AR交BK于S，连接GR．
则△AGR≌△KMN，
∴GR=MN．则△GRS≌△MNS，于是GN=MR=2．