（2014•赤峰模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=3．（1）证明：PA⊥BO；（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

Question

（2014•赤峰模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=√(3)．
（1）证明：PA⊥BO；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AB=2AO=2，BO=√(3)，
∴AB²=AO²+BO²，
∴AO⊥BO，
∵P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
∴BO⊥PO，
∵AO∩PO=O，
∴BO⊥平面PAO，
∵PA⊂平面PAO，
∴PA⊥BO；
（2）取PB的中点E，连接AE，DE，
∵PA=2AO=2，∴PO=√(3)，
∵BO⊥PO，BO⊥PO，
∴PB=√(6)，
∵PD=BD=2√(3)
∴DE⊥PB，
∵PA=AB=2，∴AO⊥PB，
∴∠AED是二面角A-BP-D的平面角．
∵AE=(√(10))/(2)，DE=(√(42))/(2)，AD=4，
∴cos∠AED=((10)/(4)+(42)/(4)−16)/(2•作业帮用户2017-11-12问题解析（1）证明AO⊥BO，BO⊥PO，可得BO⊥平面PAO，即可证明PA⊥BO；（2）取PB的中点E，连接AE，DE，证明∠AED是二面角A-BP-D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A-BP-D的余弦值．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题．考点点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议√(10))