（2011•开封一模）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求

Question

（2011•开封一模）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

方法一：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得EF＝DO＝√(3)
所以四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF；∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；
∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵FG−BF•sin∠FBG−(1)/(2)EF＝√(3)，
∴EG＝√(EF2−FG2)＝(√(13))/(2)，
∴cos∠EGF＝(FG)/(EG)＝(√(13))/(13)
即二面角E-BC-A的余弦值为(√(13))/(13)．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积V1＝(1)/(3)S△BAC•DE＝(1)/(3)•

作业帮用户 2016-11-17