在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）为AC的中点．（1）求点C的轨迹方程；（2）已知直线l：x+y-4=0，求边BC在直线l上的投影EF长的最大值．

Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）为AC的中点．

（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l：x+y-4=0，求边BC在直线l上的投影EF长的最大值．

Answer 1

（1）设C（x，y），
∵D（2，0）为AC的中点，
∴A（4-x，-y）．
∵B（-1，0），由AB=AC，得AB²=AC²．
∴（x-5）²+y²=（2x-4）²+（2y）²．
整理，得（x-1）²+y²=4．
∵A，B，C三点不共线，∴y≠0．
则点C的轨迹方程为（x-1）²+y²=4（y≠0）．
（2）由条件，易得
BE：x-y+1=0．
设CF：x-y+b=0，
当EF取得最大值时，
直线CF与圆（x-1）²+y²=4相切．
设M（1，0），由(|1−0+b|)/(√(2))＝2，得b＝2√(2)−1（舍去），或b＝−2√(2)−1．
∴CF：x-y−2√(2)−1=0．
∴EF_max等于点B到CF的距离
=(|−1−0−2√(2)−1|)/(√(2))＝√(2)+2．