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平行四边形ABCD中,AB垂直BD,AB=2,BD=根号2,沿BD将三角形BCD折起,使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.1.当阿法为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?2.当AD垂
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平行四边形ABCD中,AB垂直BD,AB=2,BD=根号2,沿BD将三角形BCD折起,
使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.
1.当阿法为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?
2.当AD垂直BC时,求阿法的大小.
使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.
1.当阿法为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?
2.当AD垂直BC时,求阿法的大小.
▼优质解答
答案和解析
第一个问题:
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥平面ABD,∴BD⊥CO.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴此时AB∥DC,而此时AB⊥BD,∴BD⊥DC.
∵BD⊥CO、BD⊥DC、CO∩DC=C,∴BD⊥平面CDO,∴DO⊥BD,
∴△OAD的面积=(1/2)AD×DO.
∵AB⊥BD、AB=2、BD=√2,∴由勾股定理,有:AD=√(AB^2+BD^2)=√(4+2)=√6.
∵DC⊥BD、CO⊥BD,∴∠CDO=二面角A-BD-C的平面角,∴∠CDO=α,
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥DO,∴DO=DCcosα、CO=DCsinα.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴DC=AB=2.
于是:
C-OAD的体积
=(1/3)△OAD的面积×CO=(1/3)(1/2)AD×DO×CO
=(1/6)√6(DCcosα)(DCsinα)=(√6/6)DC^2sinαcosα=(√6/6)×4sinαcosα
=(√6/3)sin2α.
显然,当sin2α=1时,C-OAD的体积最大,且最大值为√6/3.
第二个问题:
∵CO⊥平面ABD,∴AD⊥CO,又AD⊥BC、BC∩CO=C,∴AD⊥平面BCO,∴AD⊥BO.
令AD∩BO=E.
∵AB⊥BD、BE⊥AD,∴由三角形面积公式,有:(1/2)AB×BD=(1/2)AD×BE,
∴BE=AB×BD/AD=2√2/√6=2/√3.
∴由勾股定理,有:DE=√(BD^2-BE^2)=√(2-4/3)=√2/√3.
由第一个问题的证明过程,有:BD⊥DO,∴由勾股定理,有:
BO=√(BD^2+DO^2)=√[2+DC^2(cosα)^2]=√[2+4(cosα)^2].
由三角形面积公式,有:(1/2)BD×DO=(1/2)BO×DE,
∴√2DCcosα=(√2/√3)√[2+4(cosα)^2], ∴2√3cosα=√[2+4(cosα)^2],
∴12(cosα)^2=2+4(cosα)^2, ∴8(cosα)^2=2, ∴cosα=1/2, ∴α=60°.
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥平面ABD,∴BD⊥CO.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴此时AB∥DC,而此时AB⊥BD,∴BD⊥DC.
∵BD⊥CO、BD⊥DC、CO∩DC=C,∴BD⊥平面CDO,∴DO⊥BD,
∴△OAD的面积=(1/2)AD×DO.
∵AB⊥BD、AB=2、BD=√2,∴由勾股定理,有:AD=√(AB^2+BD^2)=√(4+2)=√6.
∵DC⊥BD、CO⊥BD,∴∠CDO=二面角A-BD-C的平面角,∴∠CDO=α,
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥DO,∴DO=DCcosα、CO=DCsinα.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴DC=AB=2.
于是:
C-OAD的体积
=(1/3)△OAD的面积×CO=(1/3)(1/2)AD×DO×CO
=(1/6)√6(DCcosα)(DCsinα)=(√6/6)DC^2sinαcosα=(√6/6)×4sinαcosα
=(√6/3)sin2α.
显然,当sin2α=1时,C-OAD的体积最大,且最大值为√6/3.
第二个问题:
∵CO⊥平面ABD,∴AD⊥CO,又AD⊥BC、BC∩CO=C,∴AD⊥平面BCO,∴AD⊥BO.
令AD∩BO=E.
∵AB⊥BD、BE⊥AD,∴由三角形面积公式,有:(1/2)AB×BD=(1/2)AD×BE,
∴BE=AB×BD/AD=2√2/√6=2/√3.
∴由勾股定理,有:DE=√(BD^2-BE^2)=√(2-4/3)=√2/√3.
由第一个问题的证明过程,有:BD⊥DO,∴由勾股定理,有:
BO=√(BD^2+DO^2)=√[2+DC^2(cosα)^2]=√[2+4(cosα)^2].
由三角形面积公式,有:(1/2)BD×DO=(1/2)BO×DE,
∴√2DCcosα=(√2/√3)√[2+4(cosα)^2], ∴2√3cosα=√[2+4(cosα)^2],
∴12(cosα)^2=2+4(cosα)^2, ∴8(cosα)^2=2, ∴cosα=1/2, ∴α=60°.
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