平行四边形ABCD中,AB垂直BD,AB=2,BD=根号2,沿BD将三角形BCD折起,使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.1.当阿法为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?2.当AD垂

Question

平行四边形ABCD中,AB垂直BD,AB=2,BD=根号2,沿BD将三角形BCD折起,
使二面角A-BD-C是大小为阿法锐角的二面角,设C在平面ABD上的射影为O.
1.当阿法为何值时,三棱锥C-OAD的体积最大?最大值为多少?
2.当AD垂直BC时,求阿法的大小.

Answer 1

第一个问题：
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥平面ABD,∴BD⊥CO.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴此时AB∥DC,而此时AB⊥BD,∴BD⊥DC.
∵BD⊥CO、BD⊥DC、CO∩DC＝C,∴BD⊥平面CDO,∴DO⊥BD,
∴△OAD的面积＝（1/2）AD×DO.
∵AB⊥BD、AB＝2、BD＝√2,∴由勾股定理,有：AD＝√（AB^2＋BD^2）＝√（4＋2）＝√6.
∵DC⊥BD、CO⊥BD,∴∠CDO＝二面角A－BD－C的平面角,∴∠CDO＝α,
∵O是C在平面ABD上的射影,∴CO⊥DO,∴DO＝DCcosα、CO＝DCsinα.
∵折起前,ABCD是平行四边形,∴DC＝AB＝2.
于是：
C－OAD的体积
＝（1/3）△OAD的面积×CO＝（1/3）（1/2）AD×DO×CO
＝（1/6）√6（DCcosα）（DCsinα）＝（√6/6）DC^2sinαcosα＝（√6/6）×4sinαcosα
＝（√6/3）sin2α.
显然,当sin2α＝1时,C－OAD的体积最大,且最大值为√6/3.
第二个问题：
∵CO⊥平面ABD,∴AD⊥CO,又AD⊥BC、BC∩CO＝C,∴AD⊥平面BCO,∴AD⊥BO.
令AD∩BO＝E.
∵AB⊥BD、BE⊥AD,∴由三角形面积公式,有：（1/2）AB×BD＝（1/2）AD×BE,
∴BE＝AB×BD/AD＝2√2/√6＝2/√3.
∴由勾股定理,有：DE＝√（BD^2－BE^2）＝√（2－4/3）＝√2/√3.
由第一个问题的证明过程,有：BD⊥DO,∴由勾股定理,有：
BO＝√（BD^2＋DO^2）＝√［2＋DC^2（cosα）^2］＝√［2＋4（cosα）^2］.
由三角形面积公式,有：（1/2）BD×DO＝（1/2）BO×DE,
∴√2DCcosα＝（√2/√3）√［2＋4（cosα）^2］,　∴2√3cosα＝√［2＋4（cosα）^2］,
∴12（cosα）^2＝2＋4（cosα）^2,　∴8（cosα）^2＝2,　∴cosα＝1/2,　∴α＝60°.