如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为42；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影

Question

如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为4√(2)；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点G，
连接OG，因为PC∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=(1)/(2)PC=(m)/(2)．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=((√(2))/(2))/((m)/(2))=4√(2)，即m=(1)/(4)．
所以，当m=(1)/(4)时，直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为4√(2)．
（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点，当是中点时
因为D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP⊂平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直．