若一直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D（2，1），求抛物线方程．

Question

若一直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，点O在直线AB上的射影为D（2，1），求抛物线方程．

Answer 1

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由于OD斜率为(1)/(2)，OD⊥AB
则AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0…①
将（1）代入抛物线方程得
y²+py-5p=0
则y₁y₂=-5p
因（y₁）²=2px₁；（y₂）²=2px₂
则（y₁y₂）²=4（p²）x₁x₂
故x₁x₂=(25)/(4)
因OA⊥OB
则x₁x₂+y₁y₂=0
p=(5)/(4)
∴抛物线方程：y²=(5)/(2)x