正四面体在桌面上的射影可能是下列图形中的哪一个?.A.正方形B.梯形C.菱形(正方形除外)

Question

正四面体在桌面上的射影可能是下列图形中的哪一个?__________.

A .正方形　　　　              B .梯形              C. 菱形(正方形除外)

Answer 1

思路分析:设正四面体为 A — BCD 

(1)当平面 BCD 与桌面平行时 投影为正三角形.

(2)如果 A 的投影 A ₁ 在 BCD 的投影三角形 B ₁ C ₁ D ₁ 的内部 则为一般的三角形.

(3)当 AB 、 CD 都与桌面平行的时候 因为 AB 垂直于 CD 所以 A ₁ B ₁ 垂直于 C ₁ D ₁ 且 AB 、 CD 的中点 E 、 F 的连线与桌面垂直 此时为正方形.

(4)设 AB 平移到 CD 所在的平面上为 A ₂ B ₂ 与 CD 相交 则只要桌面与 A ₂ B ₂ CD 所在的平面垂直 则为梯形(包括长方形).

不可能为菱形.

我们不妨设为菱形 AB 在桌面的射影为 A ₁ B ₁ CD 在桌面的射影为 C ₁ D ₁ 

AB 的中点为 E CD 的中点为 F 

其射影分别为 E ₁ 、 F ₁ .

因为 A ₁ C ₁ B ₁ D ₁ 为菱形 则 E ₁ 、 F ₁ 重合 

也就是 F 、 E _{1 、} F ₁ 在一条直线上 

因为 AB ⊥ EF EF ⊥ A ₁ B ₁ AB 、 A ₁ B ₁ 在一个平面内 所以 AB ∥ A ₁ B ₁ .

所以 A ₁ B ₁ = AB .

同理 C ₁ D ₁ = CD .

所以 A ₁ B ₁ = C ₁ D ₁ .

这是正方形 所以不可能为非正方形的菱形.

答案: A 、 B