证明：等边三角形的内心与外心重合,并且外接圆半径是内切圆半径的2倍.

Question

证明：等边三角形的内心与外心重合,并且外接圆半径是内切圆半径的2倍.

Answer 1

设等边三角形ABC 过点A作AD垂直于bc 垂点为D 过B点做BE垂直于AC 垂点为E
AD与BE相交于点F 连接CF,并延长CF交AB于G
∵AD和BE为高,而ABC是等边三角形
∴BD=AE=1/2AC
∠CBE=∠DAC=30°
∠BEA=∠BDA=90°
∴△BDF≌△AEF
∴BF=AF
∵BC=AC
CF=CF
∴△BFC≌△AFC
∴∠BCG＝∠ACG
所以CG⊥AB
∵FD,FE,FG分别垂直于AB,BC,AC
∴F就是△ABC的内心
BF=FC
BD=CD
DF=DF
∴△BDF≌△CDF
∴BF=CF
同理可得 CF=AF
F 为△ABC的外心
且DF为内接圆半径,BF为外接圆半径
∵AD⊥BC
所以三角形BDF为直角三角形
又∠FBD=1/2∠ABC=30°
∴FD=1/2BF
得证