有关三棱锥顶点在底边射影为外心的问题已知三棱锥P-ABC且PA=PB=PC则P在底面的射影为三角形ABC的外心这是为什么?

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有关三棱锥顶点在底边射影为外心的问题
已知三棱锥P-ABC 且PA=PB=PC 则P在底面的射影为三角形ABC的外心这是为什么?

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答案和解析

做PO垂直于底面ABC,则O为P在底面上的射影,并分别连结OA、OB、OC因为PO垂直于底面ABC,所以PO垂直于OA、OB、OC所以三角形POA、POB、POC均为直角三角形又PA=PB且PO为公共边所以三角形POA全等于三角形POB（H.L）所以OA=OB 同理容易证明OB=OC所以OA=OB=OC所以P在底面的射影O为三角形ABC的外心(外心即外接圆的圆心)

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